Pengujian Non Parametrik

Pengujian non parametrik merupakan pengujian yang tidak membutuhkan asumsi mengenai bentuk distribusi sampling statistika dan atau bentuk distribusi populasinya.

Pengujian non parametrik tidak menuntut:

1.      Sampel yang diambil harus berdistribusi normal

2.      Angka-angka sampel merupakan ukuran-ukuran tingkat taraf tinggi

Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran/bilangan-bilangan yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi.

Misal:

Ukuran berat (kg)

            Perbedaan 485 kg sama dengan perbedaan 980 kg

Dalam Non Par bisa terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)

Misal:

Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5)

3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1

Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)

Pengujian dalam ukuran taraf tinggi dapat diformulasikan dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank.

Contoh:

Ukuran berat: 3,4   1,8    5,8

Rank            :   2       1       3

Uji non parametrik dapat diterapkan dalam situasi seperti berikut:

1.      Jika ukuran sampel begitu kecil

2.      Jika digunakan data urutan atau data ordinal

3.      Jika digunakan data nominal

UJi Non Parametrik:

      Uji Mann Whitney  (U TEST)

Uji  Mann Whitney merupakan pengujian untuk mengetahui apakah ada perbedaan nyata antara rata-rata dua polulasi yang distribusinya sama, melalui dua sampel yang independen yang diambil dari kedua populasi.

Data untuk uji  Mann Whitney dikumpulkan dari dua sampel yang independen.

Uji Mann-Whitney dengan Sampel Kecil

Tabel 1. menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh sari sampel secara random

Tabel 1 Data Untuk Uji Mann-Whitney

SE	Gaji	Urutan	Ir	Gaji	Urutan
A	710	1	O	850	5
B	820	3,5	P	820	3,5
C	770	2	Q	940	8
D	920	7	R	970	9
E	880	6	R2 = 25,5
R1=19,5

Penyelesaian:

1)      Hipotsis nol adalah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi  tidak lebih rendah dibanding insinyur . Hipotesis alternatif adalah gaji sarjana ekonomi lebih rendah dibanding gaji insinyur.

2)      Menetapkan tingkat signifikan (). Misalkan = 5 %. Sementara n1 = 5 dan n2 = 4, maka nilai kritisnya U=2

3)      Menentukan nilai test statistik mealui tahap-tahap berikut.

a.       Mengurutkan data tanpa memperhatikan sampelnya; gaji yang kecil diberi angka 1 dan yang lebih besar diberi angka 2 dan seterusnya; jika terdapat data yang sama maka digunakan angka rata-rata, seperti gaji 820 diberi angka (3+4)/2 = 3,5.

b.      Menjumlahkan urutan masing-masing sampel;

Misalkan R1: jumlah urutan sampel n1

Dan R2: jumlah urutan sampel n2

Maka R1 = 19,5 dan R2 = 25,5.

c.       Menghitung statistik U melalui dua rumus

Pertama U = = 15,5

Kedua U =

Nilai U yang dipilih untuk menguji hipotesis nol adalah nilai U yang lebih kecil yaitu 4,5.

Untuk memeriksa apakah perhitungan kedua nilai U benar, dapat digunakan dengan rumus berikut:

Uterkecil=n1n2-Uterbesar

4,5 =20 – 15,5

Jadi benar

4)      Membuat keputusan secara statistik. Aturannya adalah : “Tolak Ho jika test statistik U  nilai kritis.”Karena nilai test statistik lebih besar dari nilai kritis maka Ho tak ditolak berarti gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding sarjana insinyur.

Uji Mann-whitney Dengan Sampel Besar

Jika ukuran sampel yang lebih besar di antara kedua sampel yang independent, lebih besar dari 20, maka distribusi sampling U menurut Mann & Whitney (1974), akan mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan standar error:

    dan

Sehingga variabel normal standarnya dirumuskan

Dalam menghitung rata-rata, standar error dan variabel normal standar, dapat digunakan U yang manapun.

Contoh:

Kita ingin menentukan apakah volume penjualan tahunan yang dicapai salesman yang tidak berpendidikan akademis berbeda dengan volume penjualan yang dicapai oleh salesman yang berpendidikan akademis. Diambil sampel random 10 salesman yang tidak berpendidikan akademis (n1=10), dan diambil sampel random lain yang independent 21 salesman yang berpendidikn akademis (n2=21). Dua grup tersebut dipisahkan sebagai grup A dan grup B. Volume penjualan dan jenjangnya ditunjukkan sebagai berikut:

Tabel 2

Volume penjualan tahunan dari salesman yang tidak berpendidikan akademis (A) dan yang berpendidikan akademis (B) beserta jenjangnya.

Salesman A	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	Jenjang	Salesman B	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	Jenjang
1	82	24	1	92	31
2	75	19	2	90	29,5
3	70	15	3	90	29,5
4	65	11	4	89	28
5	60	8	5	86	27
6	58	7	6	85	26
7	50	4,5	7	83	25
8	50	4,5	8	81	22,5
9	46	3	9	81	22,5
10	42	2	10	78	21
			11	76	20
			12	73	18
			13	72	17
			14	71	16

Salesman A	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	Jenjang	Salesman B	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	Jenjang
			15	68	14
			16	67	13
			17	66	12
			18	64	10
			19	63	9
			20	52	6
			21	41	1
		R1=98			R2=398

U = = 10(21)+

Jumlah ini lebih besar daripada

Maka Nilai U yang digunakan :

U = = 10 (21) – 167 =43

Angka ini akan diperiksa dengan:

U =

Dalam contoh tersebut n₂ > 20 maka digunakan pendekatan kurva normal

=

 =

Z =  =

Bila digunakan  = 0,01, nilai Z =  2,58. Dengan demikian Ho ditolak dan disimpulkan bahwa volume penjualan tahunan salesman yang tidak berpendidikan akademis tidak sama dengan volume penjualan tahunan salesman yang berpendidikan akademis.

      Uji Wilcoxon

Uji Wilcoxon digunakan jika besar maupun arah perbedaan diperhatikan dalam menentukan apakah ada perbedaan nyata antara data pasangan yang diambil dari satu sampel atau sampel yang berhubungan.

Uji Wilcoxon Dengan Sampel Kecil

Tabel 3  menunjukkan data untuk uji tanda apakah resep baru lebih enak dari resep lama dari sebuah restoran.

Tabel 3 Data Untuk Uji Tanda

	Urutan Rasa		Tanda Beda Urutan Resep Baru dan asli
Langganan	Resep asli	Resep baru
A	1	4	+
B	3	4	0
C	2	3	+
D	1	2	+
E	2	5	+
F	4	2	-
G	1	1	0
H	4	3	-
I	2	3	+
J	3	4	+

Prosedur pengujiannya adalah:

1)            Menentukan Ho dan H1

Hipotesis nol nya adalah bahwa resep baru tidak memperbaiki rasa dibanding resep asli. Hipotesis alternatifnya adalah bahwa resep baru memperbaiki rasa dibanding resep asli. Dalam bahasa statistika

Ho: jumlah urutan tanda positif  jumlah urutan tanda negatif

H1: jumlah urutan tanda positif > jumlah urutan tanda negatif

Tabel 4. Perhitungan Untuk Uji bertanda Wilcoxon

(1) Langganan	(2) Urutan resep asli	(3) Urutan resep baru	(4) Beda	(5) Urutan beda tanpa Melihat tanda	(6) Urutan tanda Pos.	(7) Urutan tanda Neg.
A	1	4	+3	7,5	7,5
B	3	3	0	diabaikan
C	2	3	+1	3	3
D	1	2	+1	3	3
E	2	5	+3	7,5	7,5
F	4	2	-2	6		6
G	1	1	0	Diabaikan
H	4	3	-1	3		3
I	2	3	+1	3	3
J	3	4	+1	3	3
JUMLAH					27	9

                                  

2)            Menentukan nilai kritis

Misal digunakan tingkat signifikansi 0,05. Karena pengujiannya searah kanan dan n = 8, maka diperoleh nilai kritis sebesar 5.

3)            Menentukan nilai test statistik melalui tahap-tahap sebagai berikut

a.       Menentukan besar dan tanda beda data pasangan seperti yang ditunjukkan pada kolom ke-4

b.      Mengurutkan beda tanpa memperhatikan tanda (kolom 5); angka 1 dirancang untuk beda yang terkecil. Jika terdapat beda yang sama maka digunakan angka rata-rata; pada contoh ini yang memiliki beda sebesar 1 ada 5 observasi, karena itu diberi angka (1+2+3+4+5)/5=3; kemudian yang memiliki beda dua diberi angka 6 dan karena yang memiliki beda 3 ada 2 observasi maka diberi angka (7+8)/2 =7,5

c.       Memisahkan angka yang bertanda positif dari angka nertanda negative (kolom 6 dan kolom 7)

d.      Langkah terakhir adalah menjumlahkan semua angka positif dan semua angka negative. Yang lebih kecil dari nilai absolute kedua jumlah itu dinamakan nilai statistika  yang akan menjadi dasar dalam uji Wilcoxon. Nilai statistika untuk contoh diatas adalah 9.

4)            Membuat keputusan secara statistik

Aturannya adalah: “ Jika statistik   nilai kritis, maka hipotesis nol ditolak.”Karena nilai tes statistic lebih besar dari nilai kritis, maka Ho tidak ditolak berarti resep baru tidak memperbaiki rasa dibanding resep asli.

Jika ukuran sampel n lebih besar dari 25, maka  apat dianggap berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku

 dan

Sehingga variabel normal standarnya dirumuskan

Kriteria keputusan pengujiannya adalah:

Ho: diterima apabila Z  Z

H₁: ditolak apabila Z > Z

Dari contoh diatas:

n= 8   =0,05   nilai kritis = 5

= 18

Z =

Oleh karena nilai Z (-1,26) lebih besar daripada Z=-1,96 maka Ho ditolak.

      Uji ranking Spearman

Koefisien korelasi urutan Spearman (Spearman rank correlation coefficient)  mengukur kedekatan hubungan antara dua variabel ordinal.

Besarnya nilai koefisien korelasi urutan Spearman, adalah:

Dimana d = beda urutan dalam satu pasangan

            n = banyaknya pasangan

1- 1

 =      1  korelasi sempurna +

0        tidak berkorelasi

-1  korelasi sempurna -

Langkah-langkah pengujian:

1.      Hipotesis statistik

Ho:               Ho:                         Ho:

H₁:                 H₁:   > 0                       H₁:

2.      Nilai Kritis    ;    

3.      Statistik Uji

Z =

4.      Aturan Keputusan  Ho ditolak jika Z statistik > nilai kritis

5.      Kesimpulan

Contoh:

Sebuah perusahaan minuman ingin mengetahui hubungan antara suhu harian dengan penjualan per hari.  Karena pembukuan yang kurang baik, perusahaan itu hanya mampu membuat urutan data tentang penjualan di mana angka 1 dirancang untuk penjualan terbanyak, sementara suhu tertinggi diberi angka 1.

Sampel random selama 12 hari menghasilkan data berikut:

Tabel 5

Data untuk perhitungan

Hari ke	Urutan suhu	Urutan penjualan	d	d
1	6	5	1	1
2	11	12	-1	1
3	4	2	2	4
4	7	7	0	0
5	1	4	-3	9
6	12	11	1	1
7	8	10	-2	4
8	2	1	1	1
9	5	3	2	4
10	10	9	1	1
11	9	8	1	1
12	3	6	-3	9
JUMLAH				36

    berkisar antara -1  dan 1

1)      Ho :    dan H1:

2)      Misalkan tingkat signifikan 5%, karena pengujian searah kanan maka nilai kritis Z

3)      Nilai test statistik Z =  0,874  = 2,898

4)      Karena statistik Z lebih besar dari nilai kritis maka Ho ditolak; berarti terdapat hubungan positif antara tingkat penjualan minuman dengan suhu harian.

Posted in: Pengetahuan